Question

过椭圆3x^2+4y^2=48的左焦点引直线交椭圆于A,B两点,若AB的中点为（-1,1），则绝对值AB=________?

过椭圆3x^2+4y^2=48的左焦点引直线交椭圆于A,B两点,若AB的中点为（-1,1），则绝对值AB=________?

Answer 1

椭圆方程为:x^2/16+y^2/12=1,
a=4,b=2√3,c=2,
离心率e=c/a=1/2,
用点差法,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
x1^2/16+y1^2/12=1.......(1)
x2^2/16+y2^2/12=1.......(2)
(1)-(2)式,
3/4+[(y1-y2)/(x1-x2)][(y1+y2)/2]/[(x1+x2)/2]=0
其中(y1-y2)/(x1-x2)为直线斜率k,
(y1+y2)/2和(x1+x2)/2分别是AB中点纵、横坐标为（-1，1），
∴3/4+k*(-1)=0,
∴k=3/4,
设AB与X轴成角为θ，
tanθ=k=3/4,
secθ=√（1+9/16）=5/4，
cosθ=4/5，
由经焦点弦长公式：
|AB|=(2b^2/a)/[1-e^2(cosθ)^2]=(2*12/4)/[1-(1/2)^2*(4/5)^2]
=50/7.
∴|AB|=50/7。

Answer 2

用弦长公式AB的绝对值=