Question

已知f(x)=2ax-b/x + lnx 在x=-1，x=1/2处取得极值. ①求a，b的值 ②若对x∈[1/4,2]时，f(x)＞c恒成立，求c

已知f(x)=2ax-b/x + lnx 在x=-1，x=1/2处取得极值. ①求a，b的值 ②若对x∈[1/4,2]时，f(x)＞c恒成立，求c的取值范围

Answer 1

解：
1、f(x)=2ax-b/x + lnx
则f`(x)=2a+b/x^2+1/x
因为f(x)在x=-1，x=1/2处取得极值，
所以f`(-1)=0 f`(1/2)=0
所以a=1 b=-1
2、f(x)=2x+1/x+lnx
若对x∈[1/4,2]时，f(x)＞c恒成立
只要c<f(x)的最小值即可
因为f`(x)=2-1/x^2+1/x=(2x-1)(x+1)/x^2
当x<-1或x>1/2时有f`(x)>0
当-1<x<1/2时有f`(x)<0
所以f(x)在[1/4，1/2]上是减函数。在[1/2，4]上是增函数
所以f(x)最小值是f(1/2)=3+ln2
所以c<3+ln2
所以c的取值范围是（负无穷，3+ln2）

Answer 2

有极值，意味着导数为0，于是这道题就变成了求导数。
f`(x)=2a+b/x^2+1/x
在x=1、1/2时，f'(x)=0
ab就出来了，都是-1/3
第二问，简单啦，恒成立的话，意味着极值成立，这里就不管极大值极小值了，把x=1,1/2带入，得到的小的那个值就是c的最大值是1/3
这里注意，因为f（x）＞c恒成立，所以c是可以等于1/3的，于是c≤1/3