Question

几道高数题 请教

1)说直角坐标系中存在一个圆锥曲线x²-4xy+4y²+12x-4y=0，证明该曲线为抛物线。
2)说直角坐标系中存在一个圆锥曲线3xy+2y²-3x=0，证明该曲线为双曲线。
3)说直角坐标系中存在一个圆锥曲线x²+xy+y²-2x+2y+1=0，求出对称轴(先确定曲线的类型)
上面的题为线性代数题

Answer 1

其实判断这个非常好做，不过用的是解析几何的知识。
二次曲线是什么类型就看三个系数，设x^2的系数是a，xy的系数是b, y^2的系数是c。

如果b^2-4ac=0,那么就是抛物线，比如题中就是4^2-4*1*4=0

如果b^2-4ac>0,那么就是双曲线，比如题中3^2-4*0*(-3)>0

如果b^2-4ac<0,那么就是椭圆，比如题中1^2-4*1*1<0

很多学校都把高等代数和解析几何合在一起，它们的联系也是非常紧密的。

追问

那x和y前面的系数不用算吗？怎么整理啊，因为第二个问要求定点，对称轴什么的，所以怎么化简

追答

计算的话那个方法就多了，我知道的有三种，一个是坐标变换，一个是不懂量，一个是正交矩阵法。
旋转坐标就是先消去xy项，旋转角度t，有等式 cot 2t=(a+c)/(b),求出sint 和cost后

那么再令x=ucost-vsint; y=usint+vcost,那么就可以消去其中的xy项，之后就是关于u方，v方，u，v和常数项的方程了，以后的过程就是中学知识了，如果要原始坐标的话可以利用关系x=ucost-vsint; y=usint+vcost算回去就可以。
正交矩阵法要算一个三次方程，如果三次方程的根还很变态的话基本上是得不偿失。

不变量法求标准型很在行，判断容易，上边的b方-4ac就是I2不变量，当然还有两个不变量，但是象你说的，求定点对称轴就不行了。

本人爱用第一种方法，
资料里有详尽的描述，很实用。

参考资料： http://wenku.baidu.com/view/3fbde8f44693daef5ef73d1b.html

Answer 2

1：化简得：﹙x－2y﹚∧2＋12﹙x－2y﹚＝20y,所以y＝1／20×﹙x－2y﹚∧22＋3／5×﹙x－2y﹚，令x－2y＝t，则y＝1／20×t∧2＋3／5×t，为抛物线
2：

追问

这么做不对，这个是线性代数的题，可能要用矩阵做，如果用你的方法做下面的题就不对了