Question

lim (1+√2+³√3+...n*1/n)/n（n－﹥∞﹚

Answer 1

1.
可考虑数列{an=n^1/n},显然liman=1,且an>=1，而有界。
利用如下引理：
若an有界而liman=a,则limSigma (ai/n)=a。
引理证明如下：
因为极限存在，则当n>N1时abs(an-a)<alpha/2，且n<=N1时，abs(an-a)的最大值为M
则abs(Sigma (ai/n)-a)<=M*N1/n+(n-N1)alpha/2n=(M*N1-N1*alpha/2)/n+alpha/2.
显然当n>N2=(2M/alpha-1)N1时上式<alpha，故取N=max(N1,N2)即可。

追问

我是大一的，这个有点看不懂啊~

追答

我也是大一，还不是数学系，看不懂应该是因为渣手不会贴图。
就是用引理：若有界数列有极限a，则数列算术平均的极限存在，同时为a。
至于如果你证明不出x的1/x次方的极限为1，那个就无语了。这个是要背的定理。

追问

能证出x的1/x次方的极限为1，不过接下去不会。数列算术平均的极限是神马？

追答

就是（a1+a2+......an)/n的极限。开始长长的证明就是证明它的极限就是a。
简单来说，考虑n>N1时由于极限存在，则an与a的差不会超过alpha/2。
同时由于有界，则之前an与a的差值有上界M，再代入算术平均中，利用n足够大时，与常数N1相关的C除以n>N2：C/n能小于alpha/2，两个alpha/2相加得alpha。此时可以说，当n取N1,N2的较大值时，算术平均与a的差能小于任意给定正数alpha，符合极限定义。