Question

设定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足：

（一）对任意正实数都有f(a,b)=f(a)+f(b)-p，其中p为正实数（二）f(2)=p-1
（三）当x>1时，总有f(x)<p

（1）求f(1)及f(1/2)的值（写成关于p的表达式）
（2）求证：f(x)在(0,+∞)上是减函数
（3）设an=f(2^n)n是正整数，求数列{an}的通项公式an（关于p的表达式）要详细过程 谢谢！！！

Answer 1

 

 看不明白的请追问，期望帮上你的忙！

追问

如果第三问换成：
（3）设an=f(2^n)n是正整数，数列{an}的前n项和为Sn，当且仅当n=5时，Sn取最大值，求P的取值范围？ 要详细过程 谢谢！！！

追答

（3）设an=f(2^n)n是正整数，数列{an}的前n项和为Sn，当且仅当n=5时，Sn取最大值，求P的取值范围？

解：
由题意可得 a5＞0，且a6＜0时，Sn取得最大值
由上面求得an=-n+p
从而a5=-5+p＞0 a6=-6+p＜0
解得 5＜p＜6
所以P的取值范围为（5，6）

Answer 2

分析：本题考查的是抽象函数与函数的单调性知识的综合应用问题．在解答时，对于（1）只需要利用特值得方法即可获得解答；对于（2）要利用好条件③再结合单调性的定义证明即可获得
解答．
解答：
解：（1）∵f（a）+f（b）-P=f（a•b），
令a=b=1，则f（1）=P
f(1)=f(2•1/2)=f(2)+f(1/2)-P=f(1/2)+(P-1)-P=f(1/2)-1
∴f(1/2)=P+1
（2）设0＜x1＜x2，f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(x2/x1•x1)
=f(x1)-f(x2/x1)-f(x1)+P=P-f(x2/x1)
∵x2/x1＞1，∴f(x2/x1)＜P∴f（x1）-f（x2）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是减函数．

点评：本题考查的是抽象函数与函数的单调性知识的综合应用问题．在解答的过程当中充分体现了抽象函数特值的思想、函数单调性以及问题转化的思想．值得同学们体会反思

有疑问可以追问哦，。，

追问

最后一问呢？？

追答

我刚高一，还没学，sorry。