Question

构造法 已知数列 an中a1=5,a2=2,an=2an-1+3an-2 (n>=3)求通项

(an+xa(n-1))=y(a(n-1)+a(n-2))
得 y-x=2
xy=3 得 x=1 y=3 或 x=-3 y=-1
没懂哪位高人讲一下

Answer 1

是二阶差分方程的特征方程推演过程。上面式子缺了个x，应该是以下式子
(an+xa(n-1))=y(a(n-1)+xa(n-2))，但通常设为(an-xa(n-1))=y(a(n-1)-xa(n-2))，
得x+y=2，xy=-3，从而与二次方程对应，x，y为方程x^2-2x-3=0的根。
然后用等比数列解出an-xa(n-1)=y^(n-1)*(a2-x*a1)
再继续求解就可以了。（x,y随便取一组就可以了)
一般求解有公式套，其特征方程为x^2=2x+3
即将an看成x^2，an-1看成x，an-2看成1
求出方程的根-1，3，因为相异的根
an=s(-1)^(n-1)+t*3^(n-1)
a1=5,s+t=5
a2=2,3t-s=2
t=7/4,s=13/4,
an=7/4*3^(n-1)+13/4*(-1)^(n-1)

Answer 2

这是著名的卢卡斯数列的形式
一般形式：an=Pan-1+Qan-2
卢卡斯数列的特征方程是：X^2-PX+Q=0
它的判别式是D=P^2-4Q，它的根是：
a=(P+根号D）/2, b=(P-根号D）/2
当a=b是时，an=a^n+b^n=2a^n
当a不=b时，an=（a^n+b^n)/a-b==（a^n+b^n)/根号D
或构造an-Xan-1=Y(an-1-an-2）
之后展开合并对比系数就有了：
得 y-x=2
xy=3
得 x=1
y=3
或 x=-3
y=-1
得到两个{an-Xan-1}形式数列
联立消去an-1就解出an了
08年广东理考了卢卡斯数列
兔子数列是卢卡斯数列的特殊形式。

Answer 3

这是个基本方法，一般
已知三项的都可以这样
(an+xa(n-1))=y(a(n-1)+xa(n-2))
然后展开an=（y-x）a（n-1）+xya（n-2）
与已知的相对应
y-x=2
xy=3
解出x，y取一组解带入就可以得到一个等比数列
如取x=-1.y=-3
则an-a（n-1）=(a2+a1)*-(3)^(n-1)=7(-3)^(n-1)
再写出n项来叠加就哭得出an

Answer 4

构造法 的意思就是构造一个数列bn，使得该数列是几种常见的类型之一（等差、等比）然后可以直接套公式。

就本题而言，构造了一个等比数列bn = an+xa(n-1)，比值是y