Question

如图，四边形ABCD内接于圆，DC的延长线与AB的延长线 交于点E，且BC平分∠ACE，∠ACB= ．

如图，四边形ABCD内接于圆，DC的延长线与AB的延长线
交于点E，且BC平分∠ACE，∠ACB=．
（1）判断△ABD的形状，并给予证明；
（2）若AB=2√3，CE=2√3/3，求DC的长．

Answer 1

（1）如果∠ACB=60度，则△ABD是正三角形。
因为四边形ABCD内接于圆，所以∠BCE=∠DAB，又因BC平分∠ACE，即∠ACB=∠BCE，
所以∠BCA=∠DAB，又因∠BCA=∠BDA=60度，所以∠DAB=∠ADB=60度，
即∠DBA=∠DAB=∠ADB=60度，所以三角形ADB为正三角形。
（2）由三角形ADB为正三角形知AB=AD=BD=2√3，三角形ECB与三角形EAD相似，
所以得EC*（EC+CD）=EB*（EB+AB），即4+2√3/3CD=BE^2+2√3BE……（1）；
EC：（AB+BE）=BC：AD，即3BC=2√3+BE……（2）；
BE：（EC+CD)=BC：AD，即2√3*BE=2√3/3*BC+BC*CD……（3）
BC平分∠ACE得，EC：AC=EB：AB，即AC*EB=2……（4），
解（1）（2）（3）（4）组成的方程组得CD=？

Answer 2

角AcB=?