Question

已知关于x的方程x^2-(6+i)x+9+ai=0(a属于R）有实数根b

已知关于x的方程x^2-(6+i)x+9+ai=0(a属于R）有实数根b。(1)求实数a,b的值 （2）若复数z满足|z-a-bi|-2|z|=0求z为何值时|z|有最小值，并求出|z|的最小值

Answer 1

（1）b^2 - (6 i)b 9 ai = 0 ,由实部和虚部分别为 0 的条件可得
b^2 - 6b 9 = 0 和 a = b ，于是得 a = b = 3
（2）因此 z 应满足条件 ｜z－3－3i｜＝ 2｜z｜
设 z = x iy 则条件｜z－3－3i｜＝ 2｜z｜化为 (x - 3)^2 (y -3)^2 = 4(x^2 y^2) ,展开化简得 (x 1)^2 (y 1)^2 = 8 ,由方程可知 z 位于 以 （-1 ，-1）为圆心 ，以 2√2 为半径的圆上，显然由几何关系可知连结圆心和原点的直线与圆的交点处｜z｜可分别取得最大值和最小值，简单计算可知 |z|的最小值是 √2 最大值是 3√2 。