Question

重分求解4道高数求极限的题目：如下图。时间不急，但求详细解释，让我懂得这种题型的解题思路，关键是思路

这四道题目都是出自于同济大学高等数学第五版的。我感觉他们的解法甚难理解，希望有老师或者高手回答一下。

结果并不重要，我要的是能解释清楚他们的解题思路和方法。

由于在这里很难打公式出来，所以我用word打出来了，再截图，如果你觉得难描述，也可以这样做。谢谢！

Answer 1

郭敦顒回答：
这几道求极限题的总体思路是转化，转化为易于求极限的形式。
如用洛彼塔法则求解，不符条件时，要造就0/0型或∞/∞型，使符合条件后再用洛彼塔法则求解。
x→1,lim[√(5 x－4) －√x]/（x－1）
= lim[√(5 x－4) －√x] [√(5 x－4) +√x]/{（x－1）[√(5 x－4) +√x]}
=lim4（x－1）/{（x－1）[√(5 x－4) +√x]}
=lim4/2=2
x→∞,lim[√(x²+x) －√（x²－x）]
= lim[√(x²+x) －√（x²－x）] [√(x²+x) +√（x²－x）]/ [√(x²+x) +√（x²－x）]
=lim2x/[√(x²+x) +√（x²－x）]
=（2x）′/[√(x²+x)+√（x²－x）] ′
=4/[1/√(x²+x)+1/(x²－x)] →∞
第3小题，分子分母分别（x－1）/2次方，为∞/∞型，用洛彼塔法则。
第4小题，展开，即将(x²+1)/ x乘进去，分两大部分，再分4小部分，分别求极限。

Answer 2

最后一个，看不明白。
方法：最好，分母不能为0；记住一些基本极限；必要，先导数。
1.原式=lim(x--1)(5x-4-x)/{(x-1)[根号(5x-4)+根号x]=lim(x--1)4/[根号(5x-4)+根号x]=4/[根号(5-4)+根号1]=2
2.原式=lim(x--∞)(x^2+x-x^2+x)/[根号(x^2+x)+根号(x^2-x)]=lim(x--∞)2/[根号(1+1/x)+根号(1-1/x)]=2/[根号1+根号1]=1
3 .[(3+x)/(6+x)]^[(x-1)/2]=1/[1+3/(x+3)]^[(x-1)/2]=1/[1+3/(x+3)]^[(x+3)/3*3/2-2]=[1+3/(x+3)]^2/{[1+3/(x+3)]^[(x+3)/3]}^3/2
∴原式=1^2/e^(3/2)=1/e^(3/2)

Answer 3

求极限常用方法
1、罗比达法则：常用于求不定式极限。基本的不定式极限：0/0型；∞/∞型（x→∞或x→a），而其他的如0*∞型，∞-∞型，以及1^∞型，∞^0型和0^0型等形式的极限则可以通过相应的变换转换成上述两种基本的不定式形式来求解。
2、两个重要极限
limx-->0(sinx/x)=1；limx-->0(1+x)^1/x=e
3、等价无穷小替换
当x→0时，
sinx~x
tanx~x
arcsinx~x
arctanx~x
1-cosx~(1/2)*（x^2）~ secx-1
（a^x）-1~x*lna (（a^x-1)/x~lna)
（e^x）-1~x
ln(1+x)~x
(1+Bx)^a-1~aBx
[(1+x)^1/n]-1~（1/n）*x
loga(1+x)~x/lna
（1+x)^a-1~ax(a≠0)
值得注意的是，等价无穷小一般只能在乘除中替换，在加减中替换有时会出错（加减时可以整体代换，不能随意单独代换或分别代换）

Answer 4

解：

追问

你好，请教一下第三，第四道题的思路，第一步是怎么化出来的？我看到原题的时候，怎么可以想到要这样化？是不是基于某种目的的指引？谢谢！

还有你第四题刚才好像是对的，怎么又改了？不要受别人的影响哦~

追答

第四题用了罗比达法则了。不对，不是0/0。
第一，二题是用有理化方法，对含根号的式子常用的方法。
第三题重要极限指数变形，没有好办法时也常用。

第四题，有没有打错？

追问

你好！能否再详解一下第三题。 第一步是怎么得出来的？现在各个回答都不太一致。

追答

底数分子除以分母，

因为指数函数连续，所以底数，指数同时求极限。

 

第四题如果是这样，极限存在：

Answer 5

第一题目，分子有理化
原式
=lim(x→1) [√(5x-4)-√x]/{[√(5x-4)+√x](x-1)}
=lim(x→1) 4/[√(5x-4)+√x]
=2
第二题目，分子有理化
原式
=lim(x→∞) [√(x^2+x)-√(x^2-x)]*[√(x^2+x)+√(x^2-x)]/[√(x^2+x)+√(x^2-x)]
=lim(x→∞)2x/[√(x^2+x)+√(x^2-x)]
=2
第三题
原式
=lim(x→∞) [1-3/(6+x)]^[(x-1)/2]
=lim(x→∞) [1-3/(6+x)]^[(x+6-1)/2]
=lim(x→∞) [1-3/(6+x)]^[(x+6)/(-3)*(-3/2)-1/2]
=lim(x→∞) [1-3/(6+x)]^[(x+6)/(-3)*(-3/2)]*lim(x→∞) [1-3/(6+x)]^(-1/2)
=lim(x→∞) [1-3/(6+x)]^[(x+6)/(-3)*(-3/2)]
=e^(-3/2)
第四题
原式
=lim(x→0) [2e^(x/(1+x)-1]*1/x
=lim(x→0)1/x
=∞