Question

如图M-10,二次函数y=ax平方+bx+c的图像与x轴交于点A(6,0)和点B(2,0)与y轴

如图，二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴交于点A（6,0）和点B（2,0），与y轴交于点C（0,2√3）；⊙P经过A、B、C三点。（1）求二次函数的表达式；（2）求圆心P的坐标（3）二次函数在第一象限内的图像上是否存在点Q，使得以P、Q、A、B四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标并证明所说的四边形是平行四边形；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）y=ax²+bx+c与x轴交点A（6,0）和点B（2,0），与y轴交点C（0,2√3）；
则 c=2√3
36a+6b+2√3=0
4a+2b+2√3=0
解上述联立方程，得a= √3/6 b=-4√3/3 c=2√3
二次函数的表达式:y= √3/6x^2- 4√3/3x+2 √3
(2) 圆心P点横坐标在AB和垂直平分线上
x=4，设P点坐标（4，y）
设BC的直线方程y=kx+ 2√3
经过B(2,0) ，得k=- √3 BC中点坐标（1， √3）
BC垂直平分线上解析式：y=√3/3x+2√3/3
BC垂直平分线与AB垂直平分线的交点，即圆心P的坐标
P（4，2√3）
（3）将P点纵坐标y=2√3代入二次函数，得
√3/6x^2- 4√3/3x+2 √3=2√3
x(√3/6x- 4√3/3)=0
x=0，x=8
存在Q点，使P、Q、A、B四点为顶点的四边形是平行四边形，Q（8，2√3）
或Q'(0,2√3)(注：该点同C点重合)

Answer 2

1)二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴交于点A（6,0）和点B（2,0），
故二次函数 y=f(x)=a(x-2)(x-6)，经过C（0,2√3），带入函数式，
2√3=a*(-2)*(-6)，a=√3/6，
故f(x)=√3(x-2)(x-6)/6。

2)P在AB中垂线上，故点P横坐标x=4。根据PB=PC，(4-0)^2+(y-2√3)^2=(4-2)^2+(y-0)^2，y=2√3
故点P（4，2√3）。

3）PQ平行且等于AB，Q的纵坐标为2√3，代入y=√3(x-2)(x-6)/6，得x=0或者8
AB=4，计算PQ1=PQ2=4，
故符合条件的Q点有两个，（0，2√3）和（8，2√3）。

Answer 3

解：（1）题意得
36a+6b+c=0, 4a+2b+c=0, c=2根号3∴a=根号3/6 b=-4/3根号3
∴二次函数：y=根号3/6x^2-4/3根号3x+2根号3
（2）P在AB的垂直平分线上，∴P(4，y).。则PB=PC
16+（y-2根号3)²=4+y²∴y=2根号3∴P(4，2根号3)
(3)存在。理由如下：
假设存在。根据平行四边形的对边相等，AB=PQ=4∴Q(-2，2根号3）或者（8,2根号3）。∵第一象限∴取第二个。当x=8时，y=根号3/6*64-4/3根号3*8+2根号3=2根号3∴这点Q在抛物线上。
∴Q(8，2根号3），PQ∥AB，PQ=AB=4∴四边形PBAQ是平行四边形。

Answer 4

1,带入三点即可求出函数表达式中未知数a，b，c
2，BC的垂直平分线与AB的垂直平分线交点就是p点啊。
3，利用平行四边形的性质，平行且相等嘛