Question

辅导书上的一道数学题，不懂，求过程

已知正项等差数列{an}中,a1=1,且a3,a7+2,3a9成等比数列
⑴求数列{an}的通项公式
⑵设{an}的前n项和为Sn,f(n)=Sn/(n+18)Sn+1,试问当n为何值时,f(n)最大,并求出f(n)的最大值

Answer 1

a3,a7+2,3a9成等比数列
（a7+2)^2=a3•3a9
（a1+6d+2)^2=（a1+2d）•3（a1+8d）
解得：d=1
an=n
由（1）得Sn=n(n+1)/2
f（n）=[n(n+1)/2]/[(n+18)(n+1)(n+2)]/2=n/(n+18)(n+2)
=1/[n+(36/n)+20]≤1/32
所以,f（n）的最大值为:1/32

Answer 2

（1）a3,a7+2,3a9成等比数列
所以a3*3a9=a7²
（a1+2d）*3（a1+8d）=（a1+6d）²
3（1+2d）（1+8d）=（1+6d）²
3+30d+16d²=1+12d+36d²
20d²-18d-2=0
10d²-9d-1=0
（10d+1）（1-d）=0
d=-1/10或d=1
因为是正像等差数列
所以d=1
（1）an=a1+（n-1）d=1+（n-1）=n
{an}的通项公式an=n
（2）sn=a1+a2+a3+.....+an=（a1+an）n/2=n（1+n）/2
s（n+1）=（n+1）（n+2）/2
f(n)=Sn/(n+18)Sn+1
=n/（n+2）（n+18）
为单减函数
所以n=1时，取得最大值f（1）=1/57

Answer 3

a3,a7+2,3a9成等比数列
（a7+2)^2=a3*3a9
d=1 an=n
sn=n(1+n)/2
f(n)=
f(n)=Sn/(n+18)Sn+1看不明白。

Answer 4

An=1+(n-1)d
A3=1+2d
A7+2=1+6d+2=3+6d
3A9=3(1+8d)
(A7+2)^2=A3×3A9
(3+6d)^2=(1+2d)×3(1+8d)
解方程得d=1或d=-1/2
因为d>0，所以舍去d=-1/2
则An=n

Sn=n(n+1)/2
f(n)=[n(n+1)/2]/[(n+18)*(n+1)(n+2)/2]
=n/(n+18)(n+2)
=n(n^2+20n+36)
=1/(n+20+36/n) (因为n+36/n>=2*√(n*36/n)=12
<=1/(20+12)
=1/32
则f(n)=Sn/(n+18)Sn+1得最大值=1/32
仅当切当n=36/n时，n=6等号成立