Question

已知{an}是公差不为0的等差数列，a1=1,且a1,a3,a9成等比数列，求数列{2^an}的前n项和Sn

Answer 1

{an}是公差不为0的等差数列，设公差为d（d不为0）
a1,a3,a9成等比数列，a3^2=a1*a9=a9
(a1+2d)^2=a1+8d,(1+2d)^2=1+8d,4d^2-4d=0,d不为0,d=1
an=a1+(n-1)d=1+n-1=n
数列{2^an}的首项b1=2^1=2,b(n+1)=2^(n+1),bn=2^n
,b(n+1)/bn=2数列{2^an}是首项为2，公比为2的等比数列，通项bn=b1*q^(n-1)=2^n
数列{2^an}的前n项和Sn=b1(1-q^n)/(1-q)=2(1-2^n)/(1-2)=2(2^n-1)

Answer 2

解：
设公差为d，则d≠0
a1，a3，a9成等比数列，则
a3²=a1·a9
(a1+2d)²=a1(a1+8d)
a1=1代入，整理，得
d²-a1d=0
d(d-a1)=0
d≠0，因此只有d-a1=0 d=a1=1
an=a1+(n-1)d=1+1×(n-1)=n
2^(an)=2ⁿ
2^(a1)=2 2^[a(n+1)]/2^an=2^(n+1) /2ⁿ=2，为定值。
数列{2^(an)}是以2为首项，2为公比的等比数列。
Sn=2×(2ⁿ -1)/(2-1)=2^(n+1) -2

Answer 3

a3=a1＋2d=1＋2d
a9=a1＋8d=1＋8d
则：
(1＋2d)²=1(1＋8d)
d=1【d=0舍去】
则：
an=n
bn=2^an=2^n
Sn=2*(2^n-1)/(2-1)=2(2^n-1)