Question

f(x)在[0,1]上连续，在（0，1）内可导。 f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1,证明在(0,1)内至少存在一点使f'(x)=1

Answer 1

令g(x)=f(x)-x,g(0)=0,g(1)=-1,g(1/2)=1/2,由介值定理(这里也可以是零点定理）可知在x=1/2到1之间有一点可使得g(x)等于0，再由罗尔定理易知：在（0,1）上有一点可使得g'(x)=0,那么g'(x)=f'(x)-1=0,即：f'(x)=1