Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,D为BC边上的中点，CE⊥AD于点E，BF∥AC交CE的延长线于点F

求证：AB垂直平分DF
顶角字母是C（拜托了）

Answer 1

楼主你好

如图：连接DF，

∵∠BCE+∠ACE=90°，∠ACE+∠CAE=90°

∴∠BCE=∠CAE

∵AC⊥BC，BF∥AC

∴BF⊥BC

∴∠ACD=∠CBF=90°

∵AC=CB

∴△ACD≌△CBF．∴CD=BF

∵CD=BD=1/2BC

∴BF=BD

∴△BFD为等腰直角三角形．

∵∠ACB=90°，CA=CB，

∴∠ABC=45°．

∵∠FBD=90°，

∴∠ABF=45°．

∴∠ABC=∠ABF，即BA是∠FBD的平分线．

∴BA是FD边上的高线，BA又是边FD的中线，

即AB垂直平分DF．

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Answer 2

证明：连接DF，

∵∠BCE+∠ACE=90°，∠ACE+∠CAE=90°，

∴∠BCE=∠CAE．

∵AC⊥BC，BF∥AC．

∴BF⊥BC．

∴∠ACD=∠CBF=90°，

∵AC=CB，

∴△ACD≌△CBF．∴CD=BF．

∵CD=BD=1/2

BC，∴BF=BD．

∴△BFD为等腰直角三角形．

∵∠ACB=90°，CA=CB，

∴∠ABC=45°．

∵∠FBD=90°，

∴∠ABF=45°．

∴∠ABC=∠ABF，即BA是∠FBD的平分线．

∴BA是FD边上的高线，BA又是边FD的中线，

即AB垂直平分DF．