Question

高等数学中空间几何中俩直线共线与共面问题。

已知：行列式：a1,b1,c1 ≠0
a2,b2,c2
a3.b3,c3
则直线(x-a3)/(a1-a2)=(y-b3)/(b1-b2)=(z-c3)/(c1-c2)与直线(x-a1)/(a2-a3)=(y-b1)/(b2-b3)=(z-c1)/(c2-c3)，是共面的但不平行也不重合（即相交），请问是怎么证明出来的？

Answer 1

由行列式不等于0可以知道(a1,b1,c1),(a2,b2,c2),(a3,b,c3)相互之间不能相互表示。所以两直线不平行。且(a1,b1,c1)不等于(a3,b3,c3)说明这两直线不重合 且有
a1,b1,c1 ≠0
a2,b2,c2
a3.b3,c3
说明直线(x-a3)/(a1-a2)=(y-b3)/(b1-b2)=(z-c3)/(c1-c2)与直线(x-a1)/(a2-a3)=(y-b1)/(b2-b3)=(z-c1)/(c2-c3)与直线(x-a2)/(a1-a3)=(y-b2)/(b1-b3)=(z-c2)/(c1-c3)
三条直线共面。

Answer 2

设点A(a1,b1,c1)，B(a2,b2,c2)，C(a3,b3,c3)，由行列式非零可以得到这三个点互异，且不共线(若三点共线，则向量AC与AB的分量对应成比例，反映在行列式上就是：把行列式的第一行乘以-1加到第二、三行后，第二、三行元素对应成比例，行列式等于0，矛盾)。所以三点围成三角形。
第一条直线过点C，平行于直线AB，第二条直线过点A，平行于直线BC。
两条直线不平行也不重合是很明显的，至于两条直线共面：两直线都平行于三角形ABC所在面，两直线上又各有一点在三角形ABC上，所以两直线共面(两直线经平移就是三角形ABC的两条边)