Question

已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点是F(1)若F恰好是椭圆x2/4+y2=1的一个顶点

已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点是F
(1)若F恰好是椭圆x2/4+y2=1的一个顶点，求抛物线C和准线方程
（2）在（1）的条件下，若果F’是F关于x轴对称的点，过F‘作抛物线C的两条切线l1，l2，他们分别交抛物线的另外一条切线l3:y=1/2x-1/4与A，B两点，求证：△ABF’的外接圆过点F

Answer 1

(1) 抛物线开口向上，焦点F只能为椭圆的上顶点(0, 1), p/2 = 1, p = 2
C: x² = 4y

(2) F'(0, -1)
x² = 4y, y = x²/4
y' = x/2
设过F‘作抛物线C的切线切点为D(a, a²/4), 切线斜率a/2

切线: y - a²/4 = (a/2)(x - a)
过F‘: -1 - a²/4 = (a/2)(0 - a)
a = ±2
l1: y = x - 1, A(3/2, 1/2)

l2: y = -x - 1, B(-1/2, -3/2)
AB斜率 = 1/2, 中垂线的斜率 = -2
AB中点M1(1, -1), 中垂线的方程: y + 1 = -2(x - 1), y = 1 - 2x
AF'斜率 = 1, 中垂线的斜率 = -1
AF'中点M2(3/4, -1/4), 中垂线的方程: y + 1/4 = -(x - 3/4), y = 1/2 - x
两条中垂线的交点为圆心E(1/2, 0)
半径r = EF' = √[(1/2 - 0)² + (0 + 1)²] = √5/2

EF = √[(1/2 - 0)² + (0 - 1)²] = √5/2
△ABF’的外接圆过点F