Question

高中数学题求解！要过程！

如果函数y=f(x)的定义域为R，对于定义域内的任意X，存在实数a使得f(x+a)=f(-x)成立，则称此函数具有"P(a)性质” (1)、判断函数y=sinx是否具有“P(a)性质”，若具有“P(a)性质”求出所有a的值;若不具有“P(a)性质”，请说明理由 (2)、已知y=f(x)具有“p(0)性质”，且当X小于等于零时，f(x)=（x+m)平方，求y=f(x)在[0,1]上的最大值

Answer 1

解：
(1)
y=sinx根据三角函数性质，可写成：
sin(x+π)=-sinx=sin(-x)
因此，y=sinx具有“P(a)”性质
根据三角函数的周期性，可得：
sin[x+(2k+1)π]=sin(-x)，其中k为整数，
∴a=(2k+1)π，其中k为整数
（2）
根据已知可得：
f(x)=f(-x)
当x≤0时，
f(x)=(x+m)²
设 x ≥ 0，则：
f(x)=f(-x)=(-x+m)²
因此：
(x+m)²=(-x+m)²

即：
|x+m| = |-x+m|
x+m=-(-x+m)
x+m=-x+m
得：
2x=0，这不符合题意，因为x在小于零也有意义
m=0
所以：
f(x)=x²
当x∈[0,1]时，显然当x=1时取最大值y=f(x)=1

Answer 2

(1)、判断函数y=sinx是否具有“P(a)性质”，若具有“P(a)性质”求出所有a的值;若不具有“P(a)性质”，请说明理由
f(x+a)=f(-x)
sin(x+a)=sin(-x)=-sinx
a=(2k+1)π，k为整数。

(2)、已知y=f(x)具有“p(0)性质”，且当X小于等于零时，f(x)=（x+m)平方，求y=f(x)在[0,1]上的最大值
y=f(x)具有“p(0)性质”
则
f(x)=f(-x)
又f(x)=（x+m)² x≤0
则
f(x)=（x+m)² x≥0
当x在[0,1]上时
1.若-m≤0
f(x)max=f(1)=(1+m)² ;

2.若0<-m<1
f(x)max=max{f(0),f(1)}=max{m²,(1+m)² };

1.若-m>10
f(x)max=f(0)=m² 。

Answer 3

(1)sin(x+a)=sin(-x)=sin(x+π+2kπ) ，因为x任意，所以 答案 a=(2k+1)π
(2) p(0)性质：f(x)=f(-x)，即偶函数性质

f(x)=(x+m)^2 x<=0 是对称轴 x=-m，开口向上，顶点在x轴的抛物线在y轴左边部分

需要分对称轴 -m<=-1/2 m>-1/2，画画图，有助于理解
-m<=-1/2,max=f(0)=m^2
-m>-1/2,max=f(1)=f(-1)=(-1+m)^2

Answer 4

因为sin（-x）=-sinx，故若有此性质时则sin（x+a）=-sinx，故a=kπ。k为奇数、
第二问具有的性质显然可以得出f是偶函数，这样函数解析式就出来了，再求解即可