Question

如图1，点A为抛物线C1：y= 1 2 x2-2的顶点，点B的坐标为（1，0）直线AB交抛物线C1于另

如图1，点A为抛物线C1：y=1/2 x2-2的顶点，点B的坐标为（1，0）直线AB交抛物线C1于另一点C
（1）求点C的坐标；
（2）如图1，平行于y轴的直线x=3交直线AB于点D，交抛物线C1于点E，平行于y轴的直线x=a交直线AB于F，交抛物线C1于G，若FG：DE=4：3，求a的值；
（3）如图2，将抛物线C1向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线C2，且抛物线C2的顶点为点P，交x轴于点M，交射线BC于点N．NQ⊥x轴于点Q，当NP平分∠MNQ时，求m的值

Answer 1

解：（1）∵当x=0时，y=-2；
∴A（0，-2）．
设直线AB的解析式为y=kx+b，则：
-2=b
0=k+b ，
解得k=2b=-2
∴直线AB解析式为y=2x-2．
∵点C为直线y=2x-2与抛物线y=1/2x²-2的交点，则点C的横、纵坐标满足：
y=1/2x²-2
y=2x-2 ，
解得 x1=4， y1=6 或 x2=0 y2=-2 （舍）
∴点C的坐标为（4，6）．

（2）直线x=3分别交直线AB和抛物线C1于D、E两点．
∴yD=4，yE=5/2 ，
∴DE=3/2．
∵FG：DE=4：3，
∴FG=2．
∵直线x=a分别交直线AB和抛物线C1于F、G两点．
∴yF=2a-2，yG=1/2a²-2
∴FG=|2a-1/2a²|=2，
解得：a1=2，a2=2+2根号2，a3=2-2根号2
．
（3）设直线MN交y轴于T，过点N做NH⊥y轴于点H；
设点M的坐标为（t，0），抛物线C2的解析式为y=1/2x²-2-m；
∴0=1/2t²-2-m，
∴-2-m=-1/2t²．
∴y=1/2x²-1/2t²，
∴点P坐标为（0，-1/2t²）．
∵点N是直线AB与抛物线y=1/2x²-1/2t²的交点，则点N的横、纵坐标满足：
y=1/2x²-1/2t²
y=2x-2 ，
解得
x1=2-t；y1=2-2t
或
x2=2+t；y2=2+2t （舍）．
∴N（2-t，2-2t）．
NQ=2-2t，MQ=2-2t，
∴MQ=NQ，
∴∠MNQ=45°．
∴△MOT、△NHT均为等腰直角三角形，
∴MO=OT，HT=HN
∴OT=-t，NT=根号（2-t），PT=-t+1/2t²．
∵PN平分∠MNQ，
∴PT=NT，
∴-t+1/2t²=根号（2-t），
∴t1=-2根号2，t2=2（舍）
-2-m=-1/2t²=-1/2（-2根号2），
∴m=2．