Question

证明级数∑(1\ln(n!))发散(n从2到正无穷)！请大神赐教！

Answer 1

ln(n!) < n ln(n)
而积分∫1/(x lnx) dx = ∫d(ln(x))/ln x = ln (ln (x)) |[2,正无穷) = 无穷
由积分判别法知发散

追问

真厉害，能够在详细点吗？拜托了！

追答

n! < n^n
所以ln(n!) < n ln n
注意到f(x) = 1/(xlnx)是一个单调减函数。
所以∑f(n)收敛当且仅当无穷积分∫f(x)dx收敛，后者有原函数ln(ln(x))，可以算出积分是发散的。