Question

如图,在△ABC中,∠ACB=2∠B,AD为∠BAC角平分线,点E为边AB上一动点,过点E作射线l⊥AD，分别交AD.

（或它们的延长线上），H，F点，探究BE CF CD 之间的等量关系。
（1)当l经过C时（此时CF=0），证明BE=CD
(2)当F在AC上时，写出BE,CF,CD之间关系，并证明。

Answer 1

延长AC至G，使CG=CD，联结DG

由于CG=CD，所以∠G=∠CDG，则∠ACB=∠G+∠CDG=2∠G

而已知∠ACB=2∠B，所以∠B=∠G

由于AD平分∠CAB，所以∠GAD=∠BAD，加上已证的∠B=∠G，以及公共边AD=AD

有△ADG≌△ADB，所以AG=AB

由于AH⊥EF，而AH又平分∠FAE，所以△AEF是等腰三角形，AF=AE

所以AG-AF=AB-AE，即FG=BE

1) 由于此时C、F重合，所以FG=CG，又已证FG=BE，所以CG=BE

    而CG=CD（这是作辅助线时定下的条件），所以BE=CD

2) 由于只写了F在AC上，不知道AC是指边AC还是射线AC，分类讨论一下：

    1° F在边AC上，此时FG=CG+CF

        已证FG=BE，CG=CD，所以BE=CD+CF

    2° F在AC延长线上，此时FG=CG-CF

        已证FG=BE，CG=CD，所以BE=CD-CF

    所以当F在边AC上时，BE=CD+CF；当F在AC延长线上时，BE=CD-CF