Question

已知，在△ABC中，∠ACB=2∠B．（1）如图1，当AD为∠BAC的角平分线时，求证：AB=AC+CD；（2）如图2，当AD

已知，在△ABC中，∠ACB=2∠B．（1）如图1，当AD为∠BAC的角平分线时，求证：AB=AC+CD；（2）如图2，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，对你的猜想加以证明．

Answer 1

解答：明：在AB上取一点E，使得AE=AC，连接DE
在△ACD和△AED中，

AC＝AE ∠CAD＝∠EAD AD＝AD

，
∴△ACD≌△AED（SAS），
∴∠C=∠AED，CD=DE，
，又∵∠C=2∠B，
∴∠AED=2∠B，
又∵∠AED=∠B+∠EDB，
∴DE=BE，
∴BE=CD，
∴AB=AC+CD；

（2）AB=CD-AC
证明：在BA的延长线AF上取一点E，使得AE=AC，连接DE
在△ACD和△AED中，

AC＝AE ∠CAD＝∠EAD AD＝AD

，
∴△ACD≌△AED（SAS），
∴∠ACD=∠AED，CD=DE，
∴∠ACB=∠FED，
又∵∠ACB=2∠B，
∴∠FED=2∠B，
又∵∠FED=∠B+∠EDB，
∴∠EDB=∠B，
∴DE=BE，
∴BE=CD，
∴AB=CD-AC．