Question

已知函数f(x)=1+a·2^x/2^x+b是奇函数,且函数f(x)的图像经过点(1,3) （1）求a 、b的值

（2）求函数f(x)的值域
（3）证明函数f(x)在(0，+∞）上单调递减，并写出f(x)的单调区间
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Answer 1

1）3=(1+2a)/(2+b)
-3=(1+a/2)/(1/2+b)
a=1,b=-1
2）f(x)=(1+2^x)/(2^x-1)=1+2/(2^x-1)
值域：(-1,+∞)
3）令x2>x1>0
f(x2)-f(x1)=1+2/(2^x2-1)-[1+2/(2^x1-1)]=2(2^x1-2^x2)/[(2^x2-1)(2^x1-1)]
∵2^x1-2^x2<0,2^x2-1>0,2^x1-1>0
∴f(x2)-f(x1)<0
单增：(-∞,0)
单减：(0,+∞)

Answer 2

把（1，3）（0,0）带入，可求出a，b 的值
a，b 值知道了，f（x）表达式知道了，画图， 可知道值域
设0<X1<X2 然后证明f（X1）-f（X2）>0即可

Answer 3

题上面的方框是什么

追问

2的x次方

追答

是这个意思吗
f(x)=(1+a * 2^x)/(2^x+b)

追问

嗯

追答

(1)∵奇函数 ∴过(0,0)
又过(1,3) ∴联立方程组得a=-1 b=-7/3
(2) f(x)=(1-2^x)/(2^x+7/3)
化简得f(x)=10/(3*2^x+7) - 1
∵2^x>0
∴3*2^x>0
∴3*2^x+7>7
∴0<10/(3*2^x+7)<10/7
∴-1<10/(3*2^x+7) - 1<3/7
∴值域是(-1, 3/7)
(3)
∵f(x)=10/(3*2^x+7) - 1
∴f'(x)=-(30 * 2^x * ln2)/(3*2^x+7)^2 <0恒成立
∴f(x)在(-∞,+∞)单调递减