Question

被一个高数中值定理的问题折磨疯了，求高人指点我哪里错了…

在做题中突然发现了一个拉格朗日中值定理和定积分中值定理矛盾的问题，确实不知道哪里错了，请高人指点，积分相送，不胜感激！请见图片：

Answer 1

关键问题在于Lagrange中值定理给出的ξ是依赖于x的.
所以f'(ξ)不能作为与x无关的常数从积分号里提出来.
换个角度想, f'(ξ)要是常数的话, f(x) = f((a+b)/2)+f'(ξ)·(x-(a+b)/2)不就是一次函数吗?

另外说一下, 你这里导出矛盾的方式也有问题.
积分中值定理给出, 存在η使∫{a,b} f(x)dx = (b-a)f(η), 并不排除f(η) = f((a+b)/2)的可能.
当然随便举个例子就能知道先前得到的结果不正确.

Answer 2

原因很简单
你的ξ是一个关于x的函数，并非常数
所以你第一步积分得到的不是f'(ξ) * ∫...

因为你仔细想一下，x取不同值，ξ的范围也不同的，一般不会是常数的

Answer 3

中值主要针对的是可以相反性！
逆反命题也成立的意思哦！
谢谢！