Question

用基础解系表示方程组的全部解

2X1+4X2+X3+X4=5
-X1-2X2-2X3+X4=-4
X1+2X2-X3+2X4=1

Answer 1

增广矩阵=
2 4 1 1 5
-1 -2 -2 1 -4
1 2 -1 2 1
初等行变换
2 4 1 1 5
0 0 -3 3 -3
0 0 -3 3 -3
初等行变换
2 4 1 1 5
0 0 1 -1 1
0 0 0 0 0
初等行变换
1 2 0 1 2
0 0 1 -1 1
0 0 0 0 0
所以原非齐次线性方程组对应的齐次线性方程组的基础解系为
X1=(-2,1,0,0)^T, X2=(-1,0,1,1)^T
原非齐次线性方程组的一个特解为X*=(2,0,1,0)^T
所以原非齐次线性方程组的通解为
X=k1X1+k2X2+X*=k1(-2,1,0,0)^T+k2(-1,0,1,1)^T+(2,0,1,0)^T，k1,k2∈R

Answer 2

2 4 1 1 | 5
-1 -2 -2 1 | -4
1 2 -1 2 | 1
r1<->r3
1 2 -1 2 | 1
2 4 1 1 | 5
-1 -2 -2 1 | -4
r3+r1, r2-2*r1
1 2 -1 2 | 1
0 0 3 -3 | 3
0 0 -3 3 | -3
r2+r3, r2/3
1 2 -1 2 | 1
0 0 1 -1 | 1
0 0 0 0 | 0
r1+r2
1 2 0 1 | 2
0 0 1 -1 | 1
0 0 0 0 | 0

所以x=k1[-2 1 0 0]T+k2[-1 0 1 1]T+[2 0 1 0]T