Question

线性代数问题~ 求高人解答~ 谢谢!!!

Answer 1

(1) A^k = 0，所以A的特征值只能是0。反证法：如果A可以对角化，则所有0对应一阶若当块，于是A就是零矩阵，与题意矛盾，所以A必定不可对角化。

(2)与(1)类似：
A的特征值只能是1.假设A不可对角化，则有一个二阶以上的若当块，于是A^k必定不会是对角阵。从而得证

Answer 2

（1）反证法：若P-1AP=对角阵B，则A^k=PB^kP-1=0所以B^k=0故B=0从而A=0矛盾
（2）利用数学归纳法
k=1时显然成立
假设k=n成立则P-1A^nP=B,那么k=n+1时A^(n+1)=E
P-1(A^n)P=P-1AP=B^-1,因为B是对角阵，所以B^-1也是对角阵，故A^n可对角化
得证！

Answer 3

用下面的结论就行了

n阶复方阵A可对角化当且仅当A的极小多项式没有重根