Question

关于x,y的一元二次方程mx+y=-1,3mx-my=2m+3的系数行列式D=0是该方程组有解的什么条件

Answer 1

这是二元一次方程组~
D=
|m 1|
|3m -m|
=-m^2-3m
若其为零则m=0或-3
m=0时，y=-1，0=3显然不成立，原方程组无解①；
m=-3时，-3x+y=-1，-9x+3y=-3=>3x-y=1，原方程组有无穷多解。
由于①，充分性不成立。
而当原方程组有解时，系数阵A为
m 1
3m -m
m=0时，r(A)=1
设增广矩阵为A1，当且仅当r(A1)=1时原方程组有解
此时A1=
m 1 -1
3m -m 2m+3
=
0 1 -1
0 0 3
=>r(A1)=2≠1故有解时m不能为0
m≠0时，A=
m 1
3m -m
->
1 1
3 -1
->
1 1
4 0
->
0 1
1 0
=>r(A)=2
再看A1，A1=
m 1 -1
3m -m 2m+3
->
1 1 -1
3m -m 2m+3
->
1 1 -1
4m 0 m+3
->
0 1 0
1 0 0
=>r(A1)=2
故仅有此时方程组有解
但D≠0因此必要性不成立。
综上所述，mx+y=-1,3mx-my=2m+3的系数行列式D=0是该方程组有解的什么条件呢？
答案是既非充分又非必要条件