Question

如图为某几何体的三视图（图为三个腰长为3的等腰直角三角形）,则该几何体外接球的表面积为

如图为某几何体的三视图（图为三个腰长为3的等腰直角三角形）,则该几何体外接球的表面积为

Answer 1

根据三视图均为等腰直角三角形，则绘制其立体图形为三棱锥，如图白线部分P-ABC

其中，PC⊥平面ABC，AC⊥平面PBC，BC⊥平面PAC

也即平面PBC，平面PAC，平面ABC互相垂直

其中PC=AC=BC=3

则根据三棱锥构建长方体如图绿色线部分，因为三条边相等，所以构建结果为正方体

所以三棱锥的(外心)外接球体球心为正方体中心

三棱锥外接球也外接该正方形

正方体的对角线长度=√(3²+3²+3²)=3√3

所以三棱锥外接球体半径r=3√3/2

所以三棱锥外接球体表面积=4πr²=4π*(27/4)=27π

此题考的是空间想象力，直接求解难度较大。但长方体对角线为其外接球体的直径，两两互相垂直的三棱锥可直接构建长方体，此三菱锥的外心就其所构建的长方体的中心。通过这种转化后使问题引刃而解。

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