Question

关于高等数学中梯度的概念

沿梯度方向，导数增大的最快，那为什么逆着梯度方向，导数减小的是最快的啊？

Answer 1

希望对你有所帮助.

追问

但是还得考虑这样一种情况，就是连续但是不光滑的情况。。这样的话逆着梯度方向的函数变化率就不一定等于梯度大小的相反数了

追答

连续但是不光滑的情况下，梯度向量存在不存在我们都不知道，怎么去讨论这个问题呢？

梯度向量存在，首先要保证偏导数存在。但是连续的条件下，偏导数未必存在啊。

追问

就算是偏导数存在，假设沿L方向的方向性导数为k，那么 “沿其反方向-L方向的方向性导数为-k” 这又怎么证明呢？
如果这证明不出来的话，那么也就无从证明逆着梯度方向，方向性导数最小啊？

追答

这好办，就仍以L记L方向上的单位向量吧，gradf 是梯度向量，那么沿L方向的方向导数就是
=k,
那么沿L反方向的方向导数就是
|gradf| |L| cosπ＝-k.

注意：原来两向量的夹角由0变成了π。