Question

平面向量证明题

如图，过圆外一点P作两条割线交于点A、B、C、D，AC、BD延长线交于点E，AD、BC交于点F，连接EF交该圆，再连接PM。求证：PM是该圆的切线。
可以设圆心为O，
可以用平面几何知识解，
或用平面向量解（可以建立坐标系）。

Answer 1

这个题还算挺适合向量法的.
设圆心为O, 半径为r. 简记向量OA, OB, OC, OD为a, b, c, d, 有a² = b² = c² = d² = r².
由P, A, B共线, 可设OP = ta+(1-t)b, 同理由P, C, D共线, 可设OP = sc+(1-s)d.
于是ta+(1-t)b = sc+(1-s)d ①.
变形为(t/(t-s))a+(-s/(t-s))c = ((1-s)/(t-s))d-((1-t)/(t-s))b ②.
由左端知该向量末端在直线AC上, 由右端知该向量末端在直线BD上, 于是该向量就是OE.
同理可得OF = (t/(t+s-1))a+((s-1)/(t+s-1))d = (s/(t+s-1))c+((t-1)/(t+s-1))d ③.
考虑(t-s)OE·OP = t²a²-sta·c+(1-t)(1-s)b·d-(1-t)²d² = (2t-1)r²-sta·c+(1-t)(1-s)b·d.
②式两边平方得t²a²+s²c²-2sta·c = (1-s)²d²+(1-t)²b²-2(1-t)(1-s)b·d.
故-sta·c+(1-t)(1-s)b·d = ((1-s)²d²+(1-t)²b²-t²a²-s²c²)/2 = (1-s-t)r².
代回得到OE·OP = r². 同理可得OF·OP = r².
由M, E, F共线, 可设OM = uOE+(1-u)OF, 则OM·OP = uOE·OP+(1-u)OF·OP = r².
由M在圆上, 有OM² = r², 故PM·OM = (OM-OP)·OM = OM²-r² = 0.
于是直线PM垂直于半径OM外端, 即PM为圆的切线.

追问

基本看懂，但有些地方仍不太理解：
（1）由P, A, B共线, 如何想到设OP = ta+(1-t)b？
（2）(t/(t-s))a+(-s/(t-s))c = ((1-s)/(t-s))d-((1-t)/(t-s))b ②.
由左端知该向量末端在直线AC上, 由右端知该向量末端在直线BD上, 于是该向量就是OE.
这一步不理解，如何由左（右）端得到该向量末端在直线AC（BD）上？
我是高一的学生，可能向量的某些技巧还不太了解，希望您能耐心解答，谢谢。

追答

这个两个问题可以归结为一个常用的基本结论:

设A,B为平面上两个不同点, O是任选的基点,
则点P落在直线AB上的充要条件为: 存在实数t使向量等式OP = tOA+(1-t)OB成立.
充分性: 首先t = 0, 1分别对应P与B, A重合的情形.
对t ≠ 0, 1, 由OP = tOA+(1-t)OB, 得tPA = (t-1)PB, 有PA与PB共线, P在直线AB上.
必要性: 首先若P与B重合可取t = 0. 对P不与B重合, 存在实数λ使PA = λPB.
由A,B为不同点, 有λ ≠ 1, 可取t = 1/(1-λ), 于是λ = 1-1/t.
则tPA = (t-1)PB, 即t(OA-OP) = (1-t)(OB-OP), OP = tOA+(1-t)OB.

其实这可以看成一种形式的定比分点公式.

(1)是直接结果, (2)是因为OA前系数与OC前系数的和为1, 知其末端在直线AC上.
同理由右端OB前系数与OD前系数的和为1, 知其末端在直线BD上.

Answer 2

很简单的，如图：过F作FG平行于线段BC并交DE于G点。
（不好意思，箭头省略行不行？）AF=AD+DF=1/2a+b,GF=1/4AD=1/4b,因为AH:HF=GF:AD=1:4,所以AH:AF=4:5,即AH=4/5(1/2a+b)=2/5a+4/5b。

Answer 3

已知条件中关于M的说明只字未提，我敢保证谁能证出来谁比欧几里德还伟大.

追问

点M是EF与圆的交点。