Question

已知a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0，求证a=b=c.

Answer 1

解：∵a²+b²+c²-ab-bc-ca=0
∴2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ca=0
(a²-2ab+b²)+(b²-2bc+c²)+(c²-2ac+a²)=0
(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0
∵(a-b)²≥0,(b-c)²≥0,(c-a)²≥0,
∴a-b=0,b-c=0,c-a=0,
即a=b=c

Answer 2

a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca
=1/2*(a²+b²-2ab+a²+c²-2ac+b²+c²-2bc)
=1/2*[(a-b)²+(a-c)²+(b-c)²]=0
a-b=a-c=b-c=0
a=b=c

Answer 3

a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0

等式两边乘以2得
2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0
根据完全平方公式上式变为

(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0
所以a-b=0 b-c=0 c-a＝0
因此a=b=c

Answer 4

a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0

2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0

(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0
a=b=c

Answer 5

ab+bc+ca由柯西不等式<=genhao(a^2+b^2+c^2)*genhao(a^2+b^2+c^2)*=a^2+b^2+c^2
等式成立条件：a/b=b/c=c/a
而由a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0知ab+bc+ca=a^2+b^2+c^2
知a=b=c

Answer 6

两边乘以2，（a—b）方+（b—c）方+（a-c）方=0，所以a=b=c