Question

求（sinx+sin2x）/（1+cos²x）的原函数

Answer 1

解：∵∫[(sinx+sin2x)/(1+cos²x)]dx=∫[(sinx+2sinx*cosx)/(1+cos²x)]dx (应用倍角公式)
=∫[sinx(1+2cosx)/(1+cos²x)]dx
=-∫[(1+2cosx)/(1+cos²x)]d(cosx)
=-∫d(cosx)/(1+cos²x)-∫2cosxd(cosx)/(1+cos²x)
=-arctan(cosx)-∫d(1+cos²x)/(1+cos²x)
=C-arctan(cosx)-ln(1+cos²x) (C是积分常数)
∴(sinx+sin2x)/(1+cos²x)的原函数是C-arctan(cosx)-ln(1+cos²x) (C是积分常数)。

Answer 2

∫（sinx+sin2x）dx/（1+cos²x）
=∫sinx(1+2cosx)dx/(1+cos^x)
=-∫（1+2t)dt/(1+t^)(其中t=cosx)
=-arctant-ln(1+t^)+c
=-arctan(cosx)-ln(1+cos^x)+c.