Question

如图，在△ABC中，D是BC的中点，过D作DE⊥DF，分别交AB、AC于E、F 求证：BE+CF>EF

Answer 1

 

延长ED至G，使DG=ED，连结CG、FG，

∵D是BC的中点，即BD=CD，

ED=DG，

〈EDB=〈GDC，（对顶角相等），

∴△BDE≌△CGD，（SAS）

∴CG=BE，

在△FCG中，

CF+CG>FG，（三角形两边之和大于第三边），

∵〈EDF=〈GDF=90°，

DF=DF，（公用边），

ED=DG，

∴RT△EFD≌RT△GFD，

∴EF=FG，

∴BE+CF>EF.

Answer 2

连接EF，作直角△DEF斜边上的中线DP交于EF于P点，连接CE,BF，分别取CE、BF的中点T、Q,连接PT、DT、PQ、DQ。

∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
∴DP=EP=PF=1/2EF

∵三角形两边中点的连线平行底边，且等于底边的一半
∴PT=1/2CF
DQ=1/2CF
DT=1/2BE
PQ=1/2BE
∵三角形两边之和大于第三边
∴PT+DT>PD
PQ+DQ>PD
∴PT+DT +PQ+DQ>PD+PD
1/2CF+1/2BE+1/2CF+1/2BE>1/2EF+1/2EF
∴CF+BE>EF

图请自己动手画一下

Answer 3

（1）①证明：如图（1）延长ED到G，使DG=ED，连接CG，FG，
∵CD=DB，DG=DE，∠CDG=∠BDE，
∴△DCG≌△DBE，
∴DG=DE，CG=BE，
又∵DE⊥DF，
∴FD垂直平分线段EG，
∴FG=FE，
在△CFG中，CG+CF＞FG，即BE+CF＞EF；
②结论：BE2+CF2=EF2．
理由：∵∠A=90°，
∴∠B+∠ACD=90°，
由①∠FCG=∠FCD+∠DCG=∠FCD+∠B=90°，
∴在Rt△CFG中，由勾股定理，得CG2+CF2=FG2，
即BE2+CF2=EF2；

（2）如图（2），结论：EF=EB+FC．
理由：延长AB到G，使BG=CF，
∵∠ABD+∠C=180°，又∠ABD+∠GBD=180°，
∴∠GBD=∠C，而BD=CD，
∴△BDG≌△CDF，
∴DG=DF，∠BDG=∠CDF，
∴∠EDG=∠EDB+∠BDG=∠EDB+∠CDF=∠CDB-∠EDF=120°-60°=60°=∠EDF，
∴△DEG≌△DEF，
∴EF=EG=EB+BG=EB+CF．