Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AD=AB=CD=2，∠C=60°,M是BC的中点。[1]求证：ΔMDC是等边三角形

Answer 1

【⊿MDC是等边三角形】
证明：
连接BD
∵四边形ABCD是等腰梯形
∴∠ABC=∠C=60º
∵AB=AD
∴∠ABD=∠ADB
∵AD//BC
∴∠ADB=∠DBC
∴∠ABD=∠DBC=30º
∴∠BDC=90º
∴CD=½BC【30º角所对的直角边等于斜边的一半】
∵M是BC的中点
∴DM =½BC =CM =CD【斜边中线等于斜边的一半】
∴⊿MDC是等边三角形

Answer 2

证明：由D向BC边引垂线垂足为E，由A向BC边引垂线垂足为F
因为CD=2，∠C=60°
所以EC=1/2CD=1/2*2=1（在直角三角形中30度角所对的边是斜边的一半）
同理BF=1
因为AD∥BC，DE垂直BC，AF垂下BC
所以AD=FE=2，所以BC=BF+FE+EC=4
M是BC的中点所以MC=1/2BC=2所以MC=CD
在ΔMDC中有MC=CD且它们夹角∠C=60°
所以ΔMDC是等边三角形
愿你学习进步

追问

[2]将ΔMDC绕点M逆时针旋转，当MD[即MD′]与AB交于一点E,MC[即MC′]同时与AD交于一点F时，点EF和点A构成ΔAEF.试探究ΔAEF的周长是否存在最小值。如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出ΔAEF周长的最小值

Answer 3

连接BD，
∵在等腰梯形ABCD中，∠C=60°
∴∠B=∠C=60°
∵AD∥BC
∴∠A=120°
∵AD=AB=CD=2
∴∠ABD=∠ADB=30°
∴∠CBD=30°，∠BDC=90°
∵M是BC的中点
∴DM=CM=BM
∵∠C=60°
∴ΔMDC是等边三角形

Answer 4

过D作BC的垂线，垂足E；过A作BC的垂线，垂足F
DC=2，∠C=60°，CE=CDcos60°=2x1/2=1
等腰梯形ABCD，∠B=∠C，BF=CE=1，EF=AD=2
BC=EF+BF+CE=2+1+1=4
M 是BC的中点，BM=CM=1/2BC=2
ΔMDC中，CD=MC=2，
所以ΔMDC为等腰三角形
又∠C=60°，所以ΔMDC为等边三角形

追问

[2]将ΔMDC绕点M逆时针旋转，当MD[即MD′]与AB交于一点E,MC[即MC′]同时与AD交于一点F时，点EF和点A构成ΔAEF.试探究ΔAEF的周长是否存在最小值。如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出ΔAEF周长的最小值

Answer 5

连接BD. ∠A = ∠D = 180-∠C = 120，所以∠ABD = ∠ADB =30；
所以∠BDC =120 - 30 = 90，而显然M为直角三角形BDC的斜边的中点，因此有DM=MC，又∠C=60，所以ΔMDC是等边三角形