Question

一道非常简单的数学题，在线等！！

当a变化时，y关于x的函数y=(x-a)²+a²-2a-1图象的顶点位置随之变化。
（1）当a=0时，求上述抛物线在x轴上截得的线段长。
（2）a为何值时，此抛物线在x轴上截得的线段最长，为多少?

Answer 1

令y=0 求得两个解x1和x2 ,截得线段长为 |x1-x2|
当a=0时，x²-1=0,解为1，-1 线段长为2

（2）0=x²-2ax+2a²-2a-1
韦达定理得 x1+x2=2a x1x2=2a²-2a-1
|x1-x2|²=(x1+x2)²-4x1x2=-4a²+8a+4
当且仅当a=1时取得最大值，代入得
|x1-x2|²=8 得 |x1-x2|=2倍根号2

Answer 2

解：（1）当a=0时，f（x）=xlnx，∴f′（x）=lnx+1
∵直线y=2x+m与函数y=f（x）的图象相切，∴lnx+1=2，∴x=e
∵f（e）=e，∴切点为（e，e），∴m=-e；
（2）f′(x)=lnx+1-
ax
∵f（x）在[1，2]上是单调减函数，
∴f′(x)=lnx+1-
ax≤0在[1，2]上恒成立
∴a≥xlnx+x在[1，2]上恒成立
令g（x）=xlnx+x，则g′（x）=lnx+2＞0
∴g（x）=xlnx+x在[1，2]上单调递增
∴a≥≥g（2）=2ln2+2
∴a的最小值为2ln2+2；
（3）|f（x）|≤e等价于-e≤（x-a）lnx≤e
∴-elnx≤x-a≤elnx
∴x-elnx≤a≤x+elnx
设h（x）=x+elnx，t（x）=x-elnx，则t（x）max≤a≤h（x）min，
由h′(x)=
xln2x-exln2x，∵h′（e）=0
令s（x）=xln2x-e，x∈[1，2e]，则s′（x）=ln2x+lnx＞0
∴h（x）在[1，2e]上单调递增，∴h（x）min=h（e）=2e，
∵t′（x）=1+exln2x＞0，∴t（x）在[1，2e]上单调递增，
∴t（x）max=t（2e）=2e-eln2e
综上，2e-eln2e≤a≤2e．

Answer 3

（1）当a=0时，y＝x^2-1，当y=0时，x^2=1得，x=正负1，故抛物线在X轴上截得的线段长为2
（2）当a=1/2时，抛物线在X轴上截得的线段最长，长为根号7.