Question

已知函数f(x)=ax^2+bx+1(a,b为实数)，x属于R，F(x)=f(x) x>0或-f(x) x<0 求解题过程

(1)若f(-1)=0 ,且函数的值域为【0，正无穷），求F（x）的表达式
（2）在（1）的条件下，当X属于[-2,2]时，g(x)=f(x)-kx是单调函数，求实数K的取值范围
（3）设mn<0，m+n>0，a>0，且f(x)为偶函数，判断F(m)+F(n)能否大于0

Answer 1

(1) f(-1)=a-b+1=0
又　f(x)的值域为[0，+∞)
从而f(x)的图像与x轴相切，a>0，⊿=b²-4a=0
解得a=1，b=2
f(x)=x²+2x+1
F(x)=x²+2x+1，x>0
F(x)=-x²-2x-1，x<0 注：应该用大括号表示
(2) g(x)=f(x)-kx=x²+(2-k)x+1在[-2，2]上单调，从而区间[-2,2]在对称轴x=(k-2)/2的一侧，
即　(k-2)/2≤-2或(k-2)/2≥2，解得k≤-2或k≥6
(3)f(x)为偶函数，则f(-1)=f(1)，即 a-b+1=a+b+1，从而b=0，f(x)=ax²+1
由于　mn<0，m+n>0，不妨设　m>0>n，且|m|>|n
于是F(m)+F(n)=f(m)+[-f(n)]=am²+1 +(-an²-1)=a(m²-n²)=a(m+n)(m+n)>0
即对任意mn<0，m+n>0，a>0，有F(m)+F(n)>0

追问

，⊿=b²-4a=0 这是为什么？

且|m|>|n 是n的绝对值么？

追答

1.值域是[0，+∞)，说明函数最小值为0，从而f(x)的图像与x轴相切，即与x轴有且只有一个交点，
所以判别式＝0
2.是的，少打一个＂|＂
另外，最后一步也打错一个符号．
于是F(m)+F(n)=f(m)+[-f(n)]=am²+1 +(-an²-1)=a(m²-n²)=a(m+n)(m－n)>0

追问

b²-4a=0是根据什么定理或公式的？

追答

就是判别式△=b²-4ac

Answer 2

刚刚我也解了一遍发现被抢先了！！那我补充
第一问应该补充a=0的情况并说明这是直线不满足值域限制的要求所以舍去
第二问应该k不能取2吧？
我用的是一般的定义法:设-2≤x1＜x2≤2，gx1-gx2=fx1-x1k-fx2 x2k=x1² 2x1 1-x1k-x2²-2x2-1 x2k=(x1-x2)(x1 x2 2-k) 然后分类讨论①当gx为单调递增函数时 x1 x2 2＞k 因为x1 x2 2∈[2,6) 因此k<2 ②当gx为单调递减函数时x1 x2 2<k所以k≥6 综上k∈(-∞,2)∪[6, ∞)
爪机无力 打了好久 呜呜慢了只是建议楼主可以不采纳

追问

设-2≤x1＜x2≤2，gx1-gx2=fx1-x1k-fx2 x2k=x1² 2x1 1-x1k-x2²-2x2-1 x2k=(x1-x2)(x1 x2 2-k) 这些啥？

追答

爪机打出来的符号竟然显示不出，我也不记得了 楼主sorry T^T