Question

已知函数f（x）＝-x²＋2ax＋1-a,x∈[0，1]时，有最大值2。求a的值？

Answer 1

解：∵f（x）＝-x²＋2ax＋1-a，∴x=-b/2a=a
(1)当a∈[0，1]时，则f(x)max=f(a)=2，解得：a=(1+√5)/2或a=(1-√5)/2，都不在范围内，舍去；
(2)当a>1时，图像在[0，1]递增，则f(x)max=f(1)=2，解得：a=2，满足；
(3)当a<0时，图像在[0，1]递减，则f(x)max=f(0)=2，解得：a=-1；
综上所述：a=-1或a=2
说明：本题属于二次函数的分类讨论求最值，属于定区间动轴的讨论。

Answer 2

f(x)=-(x+a)^2+1-a+a^2
对称轴为x=-a,开口向下
若-a<0,即a>0,则最大值为f(0)=1-a=2,得：a=-1,不符
若-a>1,即a<-1,则最大值为f(1)=a=2,不符
若0=<-a<=1,则最大值为f(-a)=1-a+a^2=2,得：a^2-a-1=0,得：a=(1-√5)/2, 符合
综合得：a=(1-√5)/2

Answer 3

f(x)=-(x-a）²+a²-a+1
对称轴为x=a
当a∈[0，1]时，最大值=a²-a+1=2 a=(1+√5)/2或（1-√5)/2 两值都不合适
当a<0时，最大值=f(0)=1-a=2 a=-1
当a>1时，最大值=f(1)=a=2 a=2

综上，a=-1或2