Question

如图，矩形OABC的边OA在x轴正半轴上，边OC在y轴正半轴上，B点的坐标为（1，3）．矩形O′A'BC是矩形OABC

绕B点逆时针旋转得到的．O′点恰好在x轴的正半轴上，O′C′交AB于点D．
（1）求点O′的坐标，并判断△O′DB的形状（要说明理由）
（2）求边C′O′所在直线的解析式．
（3）延长BA到M使AM=1，在（2）中求得的直线上是否存在点P，使得△POM是以线段OM为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）如图，连接OB，O′B，则OB=O′B，
∵四边形OABC是矩形，
∴BA⊥OA，
∴AO=AO′，
∵B点的坐标为（1，3），
∴OA=1，
∴AO′=1，
∴点O′的坐标是（2，0），
△O′DB为等腰三角形，
理由如下：在△BC′D与△O′AD中，
∠C′=∠DAO′=90°∠BDC′=∠O′DABC′=AO′=1
，
∴△BC′D≌△O′AD（AAS），
∴BD=O′D，
∴△O′DB是等腰三角形；
（2）设点D的坐标为（1，a），则AD=a，
∵点B的坐标是（1，3），
∴O′D=3-a，
在Rt△ADO′中，AD2+AO′2=O′D2，
∴a2+12=（3-a）2，
解得a=4 /3
∴点D的坐标为（1，4/3 ），
设直线C′O′的解析式为y=kx+b，
则
2k+b=0k+b=43
，
解得
k=-43b =83
，
∴边C′O′所在直线的解析式：y=-4/3 x+8/3 ；
（3）∵AM=1，AO=1，且AM⊥AO，
∴△AOM是等腰直角三角形，
①PM是另一直角边时，∠PMA=45°，
∴PA=AM=1，点P与点O′重合，
∴点P的坐标是（2，0），
②PO是另一直角边，∠POA=45°，则PO所在的直线为y=x，
∴
y=-43x+83y=x
，
解得
x=87y=87
，
∴点P的坐标为P（2，0）或（8 /7 ，8 / 7 ）．