Question

平面直角坐标系中，直线x+y-1=0与双曲线c:(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1(a>0,b>0)交于相异两点M,N

若以M,N为直径的圆经过原点，，且双曲线C的离心率等于根号下3，求双曲线方程

Answer 1

联立方程，求出MN两点坐标。
x+y-1=0，(x²/a²)-(y²/b²)=1，(x²/a²)-(1-x）²/b²=1，
求出x=（-a²+√[a²b²+a²b^4-a^4b²）])/(b²-a²）和x=（-a²-√[a²b²+a²b^4-a^4b²）])/(b²-a²）
求出y=1-x=1-（a²+√[a²b²+a²b^4-a^4b²）])/(b²-a²）和y=1-（a²-√[a²b²+a²b^4-a^4b²）])/(b²-a²）
上述分别是MN的坐标。
MN中点是圆心P，其x坐标是（-a²)/(b²-a²），y坐标是1+a²/(b²-a²）。圆心通过原点，则求PO距离是圆半径，等于由MN点坐标求的MN距离的一半。具体的自己做一下吧！在这里打数学符号太麻烦了。
又b/a=√（e²-1）=√2，代入上述距离等式，即可求得a和b。双曲线方程即可求出。