Question

如何证明该n阶矩阵的所有顺序主子式都大于0？

1 1/2 0 ··· 0 0
1/2 1 1/2 ··· 0 0
0 1/2 1 ··· 0 0
······
0 0 0 ··· 1 1/2
0 0 0 ··· 1/2 1
这是一个n阶矩阵，如何证明它的所有顺序主子式都大于0呀？
我已经倒出来了k和k-1/k-2阶顺序主子式的递推关系
Dk=D(k-1) — 1/4*D（k-2）

Answer 1

这就是证明矩阵正定嘛！
这个矩阵对应二次型：f=∑[i=1,n]xi^2+∑[i=1,n-1]xix(i+1)①
那么证明这个二次型正定即可。
将原式（①）展开配方整理得：
f=(x1+(1/2)∑[j=2,n]xj)^2+(3/4)(x2+(1/3)∑[j=3,n]xj)^2
+...+[n/(2n-2)](x(n-1)+xn/n)^2+[(n+1)/(2n)]xn^2
令：
y1=x1+(1/2)∑[j=2,n]xj
y2=x2+(1/3)∑[j=3,n]xj
......
y(n-1)=x(n-1)+xn/n
yn=xn
即：
x1=y1-y2/2-y3/3-...-y(n-1)/(n-1)-yn/n
x2=y2-y3/3-...-y(n-1)/yn
......
x(n-1)=y(n-1)-yn/n
xn=yn
则原二次型化为f=y1^2+3y2^2/4+...+ny(n-1)^2/(2n-2)+(n+1)yn^2/(2n)
线性替换的矩阵为T=
1 -1/2 -1/3 ... -1/(n-1) -1/n
0 1 -1/3 ... -1/(n-1) -1/n
0 0 1 ... -1/(n-1) -1/n
.........................................
0 0 0 ... 1 -1/n
0 0 0 ... 0 1
则T'AT=diag{1,3/4,4/6,...,n/(2n-2),(n+1)/(2n)}
为正定二次型

追问

我就是不想用配方法做所以才换一种方法问的。

追答

数学归纳法，没有技术难题，不懂的问我！

Answer 2

既然已经推出D(k)=D(k-1)-D(k-2)/4，该递推关系的特征多项式是x^2-x+1/4
利用特征值法可知D(k)的通项公式为D(k)=(1/2)^n(c1+c2*k)，代入两个初值解出D(k)=(n+1)/2^n即可

仅就这个问题而言更省事的证法是先用圆盘定理得到该矩阵的特征值非负，再注意它是有两行严格占优的不可约对角占优阵，必定非奇异，从而正定

楼上的方法最好也掌握，另外最好知道该矩阵的谱分解