Question

高中数学 函数

设a为实数,函数f(x)=√(1-x2)/(1+x2)+a√(1+x2)/(1-x2), *注明一下，两个根号下是(1-x2)/(1+x2)和(1+x2)/(1-x2)

(1)当a=1时，判断f(x)的单调性
(2)求实数a的范围，使得对于区间[-2√5/5,2√5/5]上的任意三个实数r，s，t，都存在以 f（r），f（s), f（t）为边长的三角形。

求高人指点！！

Answer 1

(1)
f(x)的定义域为(-1,1)
f(x)恒大于零，平方后单调性不变
(f(x))^2=4/(1-x^4)
单调增区间为(0,1)
单调减区间为（-1,0）
(2)
所求等价于在区间内最大值小于最小值的2倍。
x^2的范围为[o,4/5]
令t=x^2
g(t)=f(x)
首先要保证在区间范围内g(t)不小于0
当a>0恒成立
当a<0
在区间内前半部分的绝对值比后半部分的绝对值大
平方后比较得
(1-t)/(1+t)>a^2*(1+t)/(1-t)
a>-1/9
在上述前提下将g(t)平方得
h(t)=[(a-1)t+(a+1)]/1-t^2
当a>=1,区间内单增
g(0)=a+1
g(4/5)=3a+1/3
2g(0)>g(4/5)
解得a<5/3
1<=a<5/3
当-1/9<a<1
h(t0求导，求零点得
k(a)=(a+-1)^2/(1-a^2)
k(a)>0恒成立
k(a)<4/5解得
1/9<a<1时，g(t)在(0,4/5)内有一个极小值,在(1-a)/(1+a)处
g((1-a)/(1+a))=2*a^(1/2)
2*2*a^(1/2)>a+1
2*2*a^(1/2)>3a+1/3

7-4*3^(1/2)<a<1
当-1/9<a<=1/9
2g(4/5)>g(0)
解得a>1/15
1/15<a<=1/9
综上
1/15<a<5/3