Question

直线y-ax-1=0和双曲线3x²-y²=1相交于A、B两点。（1）当a为何值时，以AB为直径的圆过原点。

直线y-ax-1=0和双曲线3x²-y²=1相交于A、B两点。（1）当a为何值时，以AB为直径的圆过原点。（2）是否存在这样的实数a，使得两交点A、B关于y=x对称。若存在，求出a；若不存在，说明理由。

Answer 1

见图

Answer 2

解：（1）联立方程ax+1=y与3x2-y2=1，消去y得：（3-a2）x2-2ax-2=0（*）
又直线与双曲线相交于A，B两点，3-a2≠0，所以a≠± 3 ，∴△＞0⇒- 6 ＜a＜ 6 ．
又依题OA⊥OB，令A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则y1y2=-x1x2．
且y1y2=（ax1+1）（ax2+1）=a2x1x2+a（x1+x2）+1=-x1x2⇒x1x2（1+a2）+a（x1+x2）+1=0，而由方程（*）知：x1+x2=2a 3-a2 ，x1x2=2 a2-3 代入上式得-2(a1+1) 3-a2 +2a2 3-a2 +1=0⇒a2=1⇒a=±1．满足条件．
（2）假设这样的点A，B存在，则l：y=ax+1斜率a=-2．又AB中点(x1+x2 2 ，y1+y2 2 )在y=1 2 x上，则y1+y2=1 2 (x1+x2)，
又y1+y2=a（x1+x2）+2，
代入上式知 2a(x1+x2)+4=x1+x2 又x1+x2=2a 3-a2 ⇒a=6这与a=-2矛盾．
故这样的实数a不存在．

Answer 3

两式连列求出关于a的解析式两式相反就可以求出a。。