Question

如图，正三角形ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC、BC的中点，现在将△ABC沿CD翻折成

如图，正三角形ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC、BC的中点，现在将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B。求（1）求证：CD⊥EF；（2）在线段BC上是否存在一点P，使得二面角E-DP-C的余弦值为13分之3倍根号13？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）AB∥平面DEF．在△ABC中，
∵E、F分别是AC、BC上的点，且满足CECA=
CFCB=k，
∴AB∥EF．（2分）
∵AB⊄平面DEF，EF⊈平面DEF，∴AB∥平面DEF．（5分）
（Ⅱ）过D点作DG⊥AC于G，连接BG，

∵AD⊥CD，BD⊥CD，
∴∠ADB是二面角A-CD-B的平面角．（7分）
∴∠ADB=90°，即BD⊥AD．
∴BD⊥平面ADC．∴BD⊥AC．
∴AC⊥平面BGD．∴BG⊥AC．
∴∠BGD是二面角B-AC-D的平面角．（9分）
在ADC中，AD=a，DC=3a，AC=2a，
∴DG=
AD•DCAC=
3a22a=
3a2．（11分）
在Rt△BDG中，tan∠BGD=
BDDG=
2
33．（13分）