Question

设首项为1、公比为q(q≠1)的等比数列{an}的前n项的和为Sn。若对于任意给定的正数ε，总存在常数N

设首项为1、公比为q(q≠1)的等比数列{an}的前n项的和为Sn。若对于任意给定的正数ε，总存在常数N，当n>N时，恒有|Sn-1/(1-q)|<ε,则q的取值范围为？

Answer 1

a(n)=q^(n-1),q≠1
s(n)=[1-q^n]/(1-q) = 1/(1-q) - q^n/(1-q),

n->正无穷时，s(n)->1/(1-q)。所以，
n-> 正无穷时，q^n ->0.
而 |q| <1 的充要条件就是 n->正无穷时q^n->0。
所以，q的取值范围为 -1<q<1.

Answer 2

-1<q<1,其实就是证Sn的极限是1/(1-q).而Sn=(1-q^n)/(1-q),当n趋于无穷时，Sn就趋于1/(1-q).