Question

一道初二几何题如图，第二问和第三问盼解答，谢谢！

Answer 1

注意A,B关于y轴对称, AD平分∠OAC, CE // BD是整个题目的前提.
设∠CEA = x, 则∠DBO = x (同位角相等).
于是∠DAO = x (∵△ADB等腰), ∠CAO = 2x (∵AD平分∠OAC).
(2)延长EO至G, 使EG = EC, 连CG.
∵EG = EC, ∠CEG = x, ∴∠CGE = 90°-x/2.
∵CF平分∠ACE, ∠ACE = 180°-3x (△ACE内角和), ∴∠ACF = 90°-3x/2.
∴∠CFA = 180°-2x-(90°-3x/2) = 90°-x/2 = ∠CGE.
于是△GCF等腰, 有GO = OF. 故CE = GE = GO+OE = OF+OE.
(3)CN // x轴.
在AE上取点H使AH = AC, 连NH, NE.
由AN平分∠OAC, 可证△ACN ≌ △AHN (SAS), 得CN = HN, ∠ACN = ∠AHN.
∵MN是CE垂直平分线, ∴EN = CN = HN, ∴∠NHE = ∠NEH.
∴∠ACN = ∠AHN = 180°-∠NHE = 180°-∠NEH.
于是∠CNE = 360°-∠ACN-∠NEA-∠CAE = 180°-2x.
又∵NC = NE, ∴∠NCE = x = ∠CEA. 故CN // x轴 (内错角相等).

因为思维受到圆的知识的影响, 可能(3)问证得比较麻烦.

Answer 2

(2)第一问解得OE=7，AO=2，AC=5，则CE=√70，由角平分线的性质得：AC/AF=CE/EF，5/AF=√70/(9-AF)，AF=45/(5+√70)，OF+OE=AF-2+7=45/(5+√70)+5=√70=CE；
(3)猜想CN∥x轴。AN与CE的交点为F，连接OM，M为DE的中点，则CM=OM=EM，∠MOE=∠MEO，由角平分线的性质得：AO/AC=OD/CD=2/5，AC/AE=CF/FE=5/9，FE=CF+2FM，CF/(CF+2FM)=5/9，解得：FM/CF=2/5，OD/CD=FM/CF，则DM∥OM，CF=DF，∠OMF=∠NFM=2∠MOE=∠CAO，△AOC∽△FMN，AO/AC=FM/FN=2/5=FM/CF，FM=CF，则F点到△CDN各顶点的距离相等，F为圆心且在边DN上，所以DN为直径，∠DCN=90°，则CN∥x轴。