Question

△ABC中,AB=AC,P为△ABC内一点,∠BAP=70°,∠ABP=40°.

△ABC中,AB=AC,P为△ABC内一点,∠BAP=70°,∠ABP=40°.求证:△ABP是等腰三角形,连接PC,当∠PCB=30°时,求∠PBC

Answer 1

因为，∠BPA = 180°-∠BAP-∠ABP = 70° = ∠BAP ，
所以，BA = BP ，可得：△ABP是等腰三角形；
过点A作AD⊥BC于D，交CP延长线于O，连接OB；
过点B作BE⊥CP于E，则点E在CO延长线上；
AD是等腰△ABC底边上的高，可得：AD是BC的垂直平分线，
而且O在AD上，可得：OB = OC ，
∠OBC = ∠OCB = 30° ，
∠CBE = 90°-∠OCB = 60° ，
∠OBE = ∠CBE-∠OBC = 30° ；
因为，在△OBD和△OBE中，∠ODB = 90° = ∠OEB ，∠OBD = 30° = ∠OBE ，OB = OB ，
所以，△OBD ≌ △OBE ，
可得：OD = OE ，BD = BE ；
因为，在Rt△ABD和Rt△PBE中，AB = PB ，BD = BE ，
所以，△ABD ≌ △PBE ，
可得：AD = PE ；
因为，在△BOA和△BOP中，OA = AD-OD = PE-OE = OP ，BA = BP ，OB = OB ，
所以，△BOA ≌ △BOP ，
可得：∠OBA = ∠OBP = ½∠ABP = 20° ，
所以，∠PBC = ∠OBC-∠OBP = 10° 。

Answer 2

设边AB=AC=1，在三角形中ABP，由于角ABP=40度，BAP=70度，所以角APB＝70度，所以三角形ABP为等腰三角形。
则BP=1，三角形ABP中，AP=AB/sin70*sin40=sin40/sin70；三角形PBC中，PC＝BP*sin PBC/sin30=sin PBC/sin30；
三角形APC中，cos(180+PBC+30-70)=cos(140+PBC)=(AP^2+PC^2-AC^)/2AP*PC，以上各式可以解出角PBC。