Question

已知函数f(x)=lnx-ax^2+(2-a)x. (1)讨论f(x)的单调性； （2）设a>0,证明：

当0<x<1/a时,f(1/a+x)>f(1/a-x);（3）若函数y=f(x)的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为xo，证明：f'(xo)<0.

Answer 1

解答：
（1）
函数f(x)的定义域为（0，+∞），
f′(x)=1/x-2ax+(2-a)=[-2ax²+(2-a)x+1]/x=-(2x+1)(ax-1)/x，
①若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在（0，+∞）上是增函数，
②若a>0，
当x∈（0，1/a）时，f′(x)>0，f(x)在（0,1/a）上是增函数；
当x∈（1/a，+∞）时，f′(x)<0，f(x)在（1/a，+∞）上是减函数；
（2）构造函数g(x)=f(1/a+x)-f(1/a-x)，
则g(x)=ln(1+ax)-ln(1-ax)-2ax，
g'(x)=a/(1+ax)+a/(1-ax)-2a=2a³x²/(1-a²x²)
当 0<x<1/a时，g'(x)>0,∴ g(x)为增函数
又 g(0)=0
∴ g(x)>g(0)=0
即 f(1/a+x)>f(1/a-x)
（3）由（1）
① a≤0时，f(x)是单调函数，与x轴最多一个交点；
② a>0时，f(x)的最大值为f(1/a),
∵ 与x轴有两个交点，则f(1/a)>0
设A(x1,0),B(x2,0),且0<x1<x2
∴ 0<x1<1/a<x2
由（2）f(2/a-x1)=f(1/a+1/a-x1)>f(1/a-1/a+x1)=f(x1)
∴ x2>2/a-x1
∴ x2+x1>2/a
即 x0>1/a
由（1），f'(x0)<0

Answer 2

(1)∵f(x)=lnx-ax²+(2-a)x (x>0)
∴ f'(x)=1/x-2ax+2-a=1/x-a(2x+1)+2
f'(x)=0.则1/x-a(2x+1)+2=0
所以(2x+1)(ax-1)=0
∵x>0,x=-1/2(舍弃),
所以x=1/a;
∴当0<x<1/a, f'(x)>0, 函数为增函数,
x>1/a, f'(x)<0,函数为减函数
(2)
令T(x)=f(1/a+x)-f(1/a-x)，
则T(x)=ln(1+ax)-ln(1-ax)-2ax，
T'(x)=a/(1+ax)+a/(1-ax)-2a=2a³x²/(1-a²x²)
当 0<x<1/a时，1-a²x²>0，T'(x)>0,∴ T(x)为增函数
又 T(0)=0
∴ T(x)>T(0)
即 f(1/a+x)>f(1/a-x)

(3)函数f(x)=lnx-ax^2+(2-a)x的图像与x轴交于A，B两点
就是-ax^2+(2-a)x与x轴交于A，B两点,lnx与x轴无交点,画图可知
∴-ax^2+(2-a)x=0
∴x1=0,x2=2/a-1
线段AB中点的横坐标为xo=(x2+x1)/2=1/a-1/2<1/a
由(1)知，当x<1/a, f'(x)>0, 函数为增函数,
∴f'(xo)>0

Answer 3

(3)设A(x1,0),B(x2,0),且0<x1<x2
显然a>0,f(x)在(1/a,+∞)递减，所以只要证x0>1/a,即a>2/(x1+x2)(*)
由A,B在f(x)图象上，可得
lnx1-a（x1^2+x1)+2x1=0......(1)
lnx2-a（x2^2+x2)+2x2=0.......(2)
所以a=[(lnx1+2x1)-(lnx2-2x2)]/[(x1^2+x1)-(x2^2+x2)]
代入到(*)式，化简后，只要证：
ln(x1/x2)-2[(x1/x2)-1]/[1+(x1/x2)]>0
令t=x1/x2,t∈(0,1)
设h(t)=lnt-1(t-1)/(t+1)
下只要证h(t)的最小值大于0就行了，下证略