Question

如图,已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1,(a>b>0)的离心率为√3/2,以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T:

(x+2)^2+y^2=r(r>0),设圆T与椭圆C交于点M与点N.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求向量TM乘向量TN的最小值，并求此时圆T的方程;
(3)设点P是椭圆C上异于M,N的任意一点,且直线MP,NP分别与x轴交于点R,S,O为坐标原点,求证:︱OR︱.︱OS︱为定值.

Answer 1

Answer 2

由题意得到a=2,e=c/a=根号3/2,则有c=根号3,

故有b^2=a^2-c^2=4-3=1
故椭圆方程是x^2/4+y^2=1.
由对称性设M(x1,y1) N(x1,-y1)
所以TM*TN=(x1+2,y1)*(x1+2,-y1)=(x1+2)^2-y1^2=(x1+2)^2-1+x^2/4
=5/4x1^2+4x1+3=5/4(x1^2+16/5x1)+3=5/4(x1+8/5)^2-1/5
-2<=x1<=2，所以x1=-8/5时，取得最小值
所以y1=3/5
代入圆的方程可以知道：r=√13/5
圆的方程是(x+2)^2+y^2=13/5

追问

那这个呢求证:︱OR︱.︱OS︱为定值.