Question

积分求体积

Find the volum of the solid obtained by rotating the given region about the given axis.
a) y=4x-x^2, y=x, about the y-axis
围绕着y轴， 旋转所给的函数，求体积
1. 我想知道的是，这道题到底是求的哪部分的体积， 是两个函数之间的体积+中间空的体积 还是只是中间空的体积 还是只是两个函数围成的体积啊？
2. 这个解题方法是不是可以看作是 无数个圆柱体的体积的和啊？
3. 第一排的里面 2*pi*x，这个x代表什么啊？是代表那个曲线上面点的x值还是直线上面点的x值呢？

Answer 1

1求的是y=4x-x^2和y=x两函数围起来的部分即图中第一象限中图像绕y轴旋转想成的空间的体积，两函数本身不会围成体积，只会围城面积，但围成的面积绕y轴旋转一周会形成体积，就是求这部分体积。
2不是无数个圆柱体的体积的和，应该是无数个圆柱面的面积乘以dx，这就形成了体积，然后对dx积分，就是总的体积，可以理解成无数个空心圆柱体的体积的和
3圆柱面的面积等于圆柱面的高* 圆柱面对应圆的周长，题中2*pi*x就是椭圆柱面对应圆的周长，而4x-x^2-x是圆柱面的高，（4x-x^2-x）*2*pi*x就是每个圆柱面的面积，再乘以dx就是每个空心圆柱体的体积，对dx积分就是总的体积

Answer 2

1、是两个函数所围成的封闭图形绕y轴旋转的体积，就只是两个函数围成的体积。

2、本计算方法中并不是这样，而是看成无数的薄圆桶的体积之和。其实也可以看作无数个扁圆环的体积之和，不过计算会变复杂。

3、解题方法中的算式是表示从Y轴为对称轴，从x=0开始计算的薄圆桶，圆筒的高为(4x-x^2-x)，底面圆周长为2*pi*x，桶厚度为dx。