Question

一道数学中考题，求详细过程

如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠BAD＝60度．点P从点A出发，以根号3cm/s的速度，沿AC向点C作匀速运动；与此同时，点Q也从点A出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动，当点P运动到点C时，P、Q两点都停止运动．设点 P的运动时间为ts．
(1)当P异于A.C时，请说明PQ//BC.
(2)以P为圆心，PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中。t为怎样的值时，圆P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？

Answer 1

解：（1）∵四边形ABCD是菱形，且菱形ABCD的边长为2cm，
∴AB=BC=2，∠BAC=12∠DAB，
又∵∠DAB=60°（已知），
∴∠BAC=∠BCA=30°；
如图1，连接BD交AC于O．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=12AC，
∴OB=12AB=1（30°角所对的直角边是斜边的一半），
∴OA=3，AC=2OA=23，
运动ts后，AP=
3t，AQ=t，
∴APAQ=
ACAB=
3
又∵∠PAQ=∠CAB，
∴△PAQ∽△CAB，
∴∠APQ=∠ACB（相似三角形的对应角相等），
∴PQ∥BC（同位角相等，两直线平行）…5分

（2）如图2，⊙P与BC切于点M，连接PM，则PM⊥BC．
在Rt△CPM中，∵∠PCM=30°，∴PM=12PC=3-
32t
由PM=PQ=AQ=t，即3-
32t=t
解得t=43-6，此时⊙P与边BC有一个公共点；

如图3，⊙P过点B，此时PQ=PB，
∵∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60°
∴△PQB为等边三角形，∴QB=PQ=AQ=t，∴t=1
∴当4
3-6＜t≤1时，⊙P与边BC有2个公共点．

如图4，⊙P过点C，此时PC=PQ，即23-
3t=t，∴t=3-3．
∴当1＜t≤3-3时，⊙P与边BC有一个公共点，
当点P运动到点C，即t=2时，⊙P过点B，此时，⊙P与边BC有一个公共点，
∴当t=43-6或1＜t≤3-3或t=2时，⊙P与菱形ABCD的边BC有1个公共点；
当43-6＜t≤1时，⊙P与边BC有2个公共点．

Answer 2

AC=2√5（cm）
∴点P运动到点C时，所用时间为：2√5÷3≈1.5（s）
这时点Q离点B的距离为：2-1×1.5=0.5（cm）

Answer 3

ap/aq=ac/cd
因为棱长为2且角BAD=60度
ac/cd=根号3
p速度根号3 q速度1

2 当有一个公共点时，圆p与ac相切且q是切点。所以ac垂直pq ，因为角BAD=60所以角CAB=30
所以ap/ac=三分之二根号
当有两个公共点时，最大交于B 所以pc=pb因为pq平行bc所以角pqb=60所以三角形pbq是等边三角形
所以p是BD于AC的交点 所以AP=1/2AC=根号3
所以T大于零小于一有两个交点
大于一有一个交点

Answer 4

（1）时间一样 ∴AP∶AQ=根号3，可把AC=2倍根号3，∴AC∶AB=根号3，
∴AP∶AQ=AC∶AB，而∠CAB=∠PAQ,
∴△PAQ∽△CAB，所以∠PQA=∠CBA，∴PQ//BC。
（2）

Answer 5

1，设时间为t，AP=根号3t，AQ=t，那么AP：AC=AQ:AB，里面的t可以消去，那么两个三角形相似，角PQA=角CBA，所以两直线平行。
2，没时间玩了，下次上网再说

Answer 6

（1）三角形AQP与三角形ABC相似（方法三边对应成比例）（2）t=1(四边形PQBE)是菱形，t大于1而小于等于2时有两个公共点

Answer 7