Question

已知a,b,c是三角形ABC的三边，且满足关系式 a²+c²=2ab+2bc-2b²，试说明三角形

已知a,b,c是三角形ABC的三边，且满足关系式 a²+c²=2ab+2bc-2b²，试说明三角形ABC是等边三角形。

Answer 1

将等号右边的东西全移到左边，变成a^2-2ab+b^2+c^2-2bc+b^2=0
这样就配成了两个完全平方式，加上括号看得更清楚(a^2-2ab+b^2)+(c^2-2bc+b^2)=0
然后可以变成(a-b)^2+(c-b)^2=0
由于(a-b)^2大于等于0，同时(c-b)^2也大于等于0
要使它们两个的和等于0，只能是它们两个同时等于0
也就说明a=b且c=b
也就是a=b=c，即三角形ABC为等边三角形

追问

谢谢 。

Answer 2

a^2-2ab+b^2=-(b^2-2bc+c^2)

(a-b)^2=-(b-c)^2
所以 (a-b)^2=-(b-c)^2 =0(一个数的平方等于另外一个数的平方的负数，两个数只能等于0)
所以a-b=0 b-c=0
所以a=b=c
三角形为等边三角形